質(zhì)量工程師

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用古典方法求概率，經(jīng)常需要用到排列與組合的公式?，F(xiàn)簡要介紹如下：

排列與組合是兩類計數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計數(shù)原理。

(1)乘法原理：如果做某件事需經(jīng)k步才能完成，其中做第一步有m1種方法，做第二步m2種方法，…，做第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1×m2×…×mk種方法。

例如，甲城到乙城有3條旅游線路，由乙城到丙城有2條旅游線路，那么從甲城經(jīng)乙城去丙城共有3×2=6條旅游線路。

(2)加法原理：如果做某件事可由k類不同方法之一去完成，其中在第一類方法中又有m1種完成方法，在第二類方法中又有m2種完成方法，…，在第k類方法中又有mk種完成方法，那么完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法。

例如，由甲城到乙城去旅游有三類交通工具：汽車、火車和飛機(jī)，而汽車有5個班次，火車有3個班次，飛機(jī)有2個班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個班次供旅游選擇。

(3)排列與組合的定義及其計算公式如下：

①排列：從n個不同元素中任取個元素排成一列稱為一個排列。按乘法原理，此種排列共有n×(n-1) ×…×(n-r+1)個，記為。若r=n，稱為全排列，全排列數(shù)共有n!個，記為Pn，即：

= n×(n-1) ×…×(n-r+1)， Pn= n!

②重復(fù)排列：從n個不同元素中每次取出一個作記錄后放回，再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列。按乘法原理，此種重復(fù)排列共有個。注意，這里的r允許大于n。

例如，從10個產(chǎn)品中每次取一個做檢驗(yàn)，放回后再取下一個，如此連續(xù)抽取4次，所得重復(fù)排列數(shù)為。假如上述抽取不允許放回，則所得排列數(shù)為10×9×8×7=5040。

③組合：從n個不同元素中任取個元素并成一組(不考慮他們之間的排列順序)稱為一個組合，此種組合數(shù)為：

規(guī)定0!=1，因而。另外，在組合中，r個元素”一個接一個取出”與”同時取出”是等同的。大的美女編輯們

例如，從10個產(chǎn)品中任取4個做檢驗(yàn)，所有可能取法是從10個中任取4個的組合數(shù)，則不同取法的種數(shù)為：

這是因?yàn)槿〕龅娜我庖唤M中的4個產(chǎn)品的全排列有4!=24種。而這24種排列在組合中只算一種。所以。

注意：排列與組合都是計算 “從n個不同元素中任取r個元素”的取法總數(shù)公式，他們的主要差別在于：如果講究取出元素間的次序，則用排列公式;如果不講究取出元素間的次序，則用組合公式。至于是否講究次序，應(yīng)從具體問題背景加以辨別。

[例1.1-5] 一批產(chǎn)品共有N個，其中不合格品有M個，現(xiàn)從中隨機(jī)取出n個，

問：事件Am= “恰好有m個不合格品”的概率是多少?

從N個產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個共有個不同的樣本點(diǎn)，它們組成這個問題的樣本空間。

其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這個樣本點(diǎn)是等可能的。以后對“隨機(jī)抽取”一詞都可以作同樣理解。下面我們先計算事件A0、A1的概率，然后計算一般事件Am的概率。

事件A0=“恰好有0個不合格品”=“全是合格品”，要使取出的n個產(chǎn)品全是合格品，那么必須從該批中N-M個合格品中抽取，這有種取法。故事件A0的概率為：

事件A1=“恰好有1個不合格品”，要使取出的n個產(chǎn)品只有一個不合格品，其他n-1個是合格品，可分二步來實(shí)現(xiàn)。第一步從M個不合格品中隨機(jī)取出1個，共有種取法;第二步從N-M個合格品中隨機(jī)取出n-1個，共有種取法。依據(jù)乘法原則，事件A1共含有個樣本點(diǎn)。故事件A1的概率為：

最后，事件Am發(fā)生，必須從M個不合格品中隨機(jī)抽取m個，而從N-M個合格品中隨機(jī)抽取n-m個，依據(jù)乘法原則，事件Am共含有個樣本點(diǎn)，故事件Am的概率是：大

其中r=min(n，M)為n， M中的較小的一個數(shù)，它是m的最大取值，這是因?yàn)閙既不可能超過取出的產(chǎn)品數(shù)n，也不可能超過不合格品總數(shù)M，因此。

假如N=10.M=2和n=4，下面來計算諸事件Am的概率

而A3，A4等都是不可能事件，因?yàn)?0個產(chǎn)品中只有2個不合格品，而要從中抽出3個或4個不合格品是不可能的，因而P(A3)=P(A4)=0 。

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