質(zhì)量工程師

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第十講 參數(shù)估計(jì)—— 區(qū)間估計(jì)

一、考試要求

1.熟悉區(qū)間估計(jì) (包括置信水平、且信區(qū)間)的概念

2.熟悉正態(tài)總體均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間的求法

3.了解比率p的置信區(qū)間 (大樣本場(chǎng)合)的求法

二、 內(nèi)容講解

第四節(jié) 參數(shù)估計(jì)(續(xù))

二、區(qū)間估計(jì)

(一) 區(qū)間估計(jì)的概念

點(diǎn)估計(jì)僅僅給出參數(shù)一個(gè)具體的估計(jì)值，但是沒(méi)有給出估計(jì)的精度，而區(qū)間估計(jì)是用一個(gè)區(qū)間來(lái)對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，區(qū)間估計(jì)體現(xiàn)了估計(jì)的精度。

設(shè) 是總體的一個(gè)待估參數(shù)，其一切可能取值組成的參數(shù)空間為 ，記從總體中獲得樣本量為n的樣本為 ，對(duì)給定的 ，確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：與若對(duì)任意 ∈ 有P( ≤ ≤ )≥l- ，則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間[ ， ]是 的置信水平為l- 的置信區(qū)間，簡(jiǎn)稱(chēng)[ ， ]是 的l- 的置信區(qū)間， 與 分別稱(chēng)為的l- 的置信下限與置信上限。

置信區(qū)間的含義是：所構(gòu)造的隨機(jī)區(qū)間 覆蓋(蓋住)未知參數(shù) 的概率為 。由于這個(gè)隨機(jī)區(qū)間隨樣本觀(guān)測(cè)值的不同而不同，它有時(shí)覆蓋了參數(shù) ，有時(shí)沒(méi)有覆蓋 ，但是用這種方法做區(qū)間估計(jì)時(shí)，100次中大約有100( )個(gè)區(qū)間能覆蓋未知參數(shù) 。圖1.4-1中每一條豎線(xiàn)表示由一個(gè)樣本量為4的樣本按給定的 與 求得的一個(gè)區(qū)間。重復(fù)抽取100個(gè)樣本，就得到100個(gè)這樣的區(qū)間，在( )中，100個(gè)區(qū)間有51個(gè)包含(覆蓋了)參數(shù)真值=50000，這對(duì)50%的置信區(qū)間來(lái)說(shuō)是一個(gè)合理的偏離;在( )中，100個(gè)區(qū)間有90個(gè)包含參數(shù)真值=50000，這與90%的置信區(qū)間一致。

如果P( < )=P( > )= /2，則稱(chēng)這種置信區(qū)間為等尾置信區(qū)間。

下面著重討論正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間及比例p的置信區(qū)間，它們都是等尾置信區(qū)間。

(二)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間

設(shè)總體分布為 ，從中抽取的樣本記為 ，樣本均值為 ，樣本方差為 ,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s。

(1)總體均值 的置信區(qū)間的求法： 的估計(jì)一般用樣本均值 ，從 的分布來(lái)構(gòu)造置信區(qū)間。

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差 已知時(shí)，利用正態(tài)分布可得 的l- 置信區(qū)間為：

今后也記為 ，其中 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 分位數(shù)。

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差 未知時(shí)， 用其估計(jì)s代替，利用t分布可以得到 的l- 置信區(qū)間為：

其中 表示自由度是n-l的t分布的 分位數(shù)。

(2)總體方差 與標(biāo)準(zhǔn)差 的置信區(qū)間的求法： 的估計(jì)常用樣本方差 ，因此從 的分布來(lái)構(gòu)造置信區(qū)間。

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